我们可以利用初等变换来求矩阵A的逆矩阵：
首先，我们将矩阵A进行扩展，变成一个3×6的矩阵[A I]，其中I是一个3×3的单位矩阵：
```
1 2 3 | 1 0 0
2 3 4 | 0 1 0
3 5 6 | 0 0 1
```
接下来，我们利用初等行变换将矩阵A的左侧转化为单位矩阵，也就是将A变成I：
```
1 2 3 | 1 0 0
0 -1 -2 | -1 1 0
0 -1 -3 | -3 0 1
```
再次进行初等行变换：
```
1 2 3 | 1 0 0
0 1 2 | 1 -1 0
0 -1 -3 | -3 0 1
```
继续进行初等行变换：
```
1 2 3 | 1 0 0
0 1 2 | 1 -1 0
0 0 1 | -2 1 1
```
最后，进行最后一次初等行变换：
```
1 2 0 | -1 2 -3
0 1 0 | -1 2 -2
0 0 1 | -2 1 1
```
现在，我们可以看到矩阵A的左侧变成了一个单位矩阵。右侧的部分则是矩阵A的逆矩阵。因此，矩阵A的逆矩阵为：
```
-1 2 -3
-1 2 -2
-2 1 1
```
接下来，我们需要求矩阵A的行列式。根据性质，行列式等于矩阵A的逆矩阵的行列式的倒数。所以，行列式d等于矩阵A的逆矩阵的行列式的倒数，即：
d = 1/(-1 × (-1) × (-2) - 2 × (-2) × (-2) - (-3) × (-1) × 1)
d = 1/(-1 + 8 - 3)
d = 1/4
因此，矩阵A的行列式为1/4。
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